题目内容
【题目】设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.
(1)求证f(0)＝1；
(2)求证x∈R时，恒有f(x)＞0；
(3)求证f(x)在R上是减函数．
【答案】(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，
因为f(n)≠0，所以f(0)＝1.
(2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1，当x＝0时，f(0)＝1＞0，当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.因为f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，所以f(x)·f(－x)＝1，
所以f(x)＝
＞0.故x∈R时，恒有f(x)＞0.
(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，
所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1，
故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是减函数．
【解析】
（1）对函数进行赋值，即可证得结论；
（2）由于已知部分定义域内函数值的范围，故分区间讨论，结合已知等式，将其他区间内的范围与已知函数值结合讨论；
（3）证明单调性需根据定义去求，假设
结合等式，构造
的形式，判断符号即可证出单调性.
证明：(1)根据题意，令m＝0，
可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，
因为f(n)≠0，所以f(0)＝1.
(2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1，
当x＝0时，f(0)＝1＞0，
当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.
因为f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
所以f(x)·f(－x)＝1，
所以f(x)＝＞0
故x∈R时，恒有f(x)＞0.
(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，
所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．
由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，
所以0＜f(x2－x1)＜1，
故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是减函数．
【题目】某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
女性用户 | 分值区间 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
