Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周长为20，面积为10$\sqrt{3}$，求△ABC的三边长．

Answer 1

分析 （1）由a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．利用正弦定理可得：sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC=sinB=sin（A+C），化简整理即可得出；
（2）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=20}\\{\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=10\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵a（cosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=b．
由正弦定理可得：sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinC≠0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA=cosA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=20}\\{\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=10\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=5}\\{c=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=8}\\{c=5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．