Question

15．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：

x	3	4	5	6	7	8
y	2.5	3	4	4.5	5.22	5.97

（1）请根据上表提供的前四列数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（2）在误差不超过0.05的条件下，利用X=7，X=8来检验（1）所求回归直线是否合适？
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（2）将x=7，x=8代入求出预报值，与实际值比较后，可得结论；
（3）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗

解答 解：（1）由对照数据，计算得$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}•\overline{y}}{\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{3.5}{5}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35
（2）由（1）求出的线性回归方程$\hat{y}$=0.7x+0.35，
当x=7时，$\hat{y}$=5.25，5.25-5.22=0.03＜0.05；
当x=8时，$\hat{y}$=5.95，5.97-5.95=0.02＜0.05；
故所求回归直线合适；
（3）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨．

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．