Question

18．用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足-1＜x＜1，-1＜y＜1．
（1）求事件x≤$\frac{1}{2}$的概率；
（2）求事件“x²+y²＞1”的概率．

Answer 1

分析 （1）求出事件“x≤$\frac{1}{2}$”为事件A的测度为2，事件A的表示的区域d为数轴上-1到$\frac{1}{2}$的线段，测度为$\frac{3}{2}$，然后求解P（A）．
（2）记事件“x²+y²＞1”事件为B，求出B测度为4，事件B表示的平面区域d'为圆O的外部，则其测度，然后求解事件“x²+y²＞1”的概率．

解答 解：（1）记事件“x≤$\frac{1}{2}$”为事件A，…（1分）
x可以看成数轴上的点，则所有试验结果形成的区域D为数轴上-1到1的线段，其测度为2，…（3分）
事件A的表示的区域d为数轴上-1到$\frac{1}{2}$的线段，测度为$\frac{3}{2}$，…（5分）
P（A）=$\frac{d的测度}{D的测度}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
答：事件x≤$\frac{1}{2}$的概率为$\frac{3}{4}$．…（7分）
（2）记事件“x²+y²＞1”事件为B，…（8分）
由于x，y的随机性，（x，y）可以看成坐标平面中的点，
所有试验的全部结果D'为{（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}表示的平面区域，是边长为2正方形，测度为4，…（10分）
事件B表示的平面区域d'为圆O的外部，则其测度为（4-π）…（12分）
则：$P（B）=\frac{d'的测度}{D'的测度}=\frac{4-π}{4}$，
答：事件“x²+y²＞1”的概率为$\frac{4-π}{4}$．…（14分）

点评 本题考查几何概型的概率的求法，考查计算能力．