Question

8．已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则不等式x•f（x）＜0的取值范围是{x|x＞2，或x＜-2}．

Answer 1

分析 根据题意可得到f（x）在（-∞，0）上单调递减，f（-2）=0，从而由不等式x•f（x）＜0可得，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（2）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-2）}\end{array}\right.$，根据f（x）的单调性便可得出x的取值范围．

解答 解：奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减；
f（2）=0，∴f（-2）=0；
∴由x•f（x）＜0得，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（2）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-2）}\end{array}\right.$；
∴x＞2，或x＜-2；
∴原不等式的取值范围为{x|x＞2，或x＜-2}．
故答案为：{x|x＞2，或x＜-2}．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，将不等式变成不等式组从而解不等式的方法．