题目内容
【题目】已知椭圆C： 
=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为 
． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： 
=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为 
， ∴ 
，解得a=6，b=2，
∴椭圆C的方程为 
．
（Ⅱ）设切点为（x0 ， y0），
当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
∵k=﹣ 
，∴切线方程为y﹣y0=﹣ （x﹣x0），∴ 
，
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，
符合 ，
综上知切线方程为 ，
设点M（xM ， yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，切点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，
过点B的圆的切线为x2x+y2y=1，
∵两切线都过M点，∴x1xM+y1yM=1，x2xM+y2yM=1，
∴切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，
由题意知xMyM≠0，
∴P（ 
，0），Q（0， 
），
∴|PQ|2= 
=（ ）（ 
+ 
）
= 
≥ 
= 
，
当且仅当 
时，取等号，
∴|PQ|≥ 
，∴|PQ|的最小值为
【解析】（Ⅰ）由椭圆上顶点为（0，2），且离心率为 
，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设切点为（x0 ， y0），求出切线方程为 
，设点M（xM ， yM），MA，MB是圆x2+y2=1的切线，求出切点弦AB的方程为xMx+yMy=1，由此能求出|PQ|的最小值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能正确解答此题．
