题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的上顶点为(0,2),且离心率为
. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线,切点分别为A、B,当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时,求|PQ|的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C: =1(a>b>0)的上顶点为(0,2),且离心率为
, ∴
,解得a=6,b=2,
∴椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)设切点为(x0 , y0),
当切线斜率存在时,设切线方程为y﹣y0=k(x﹣x0),
∵k=﹣ ,∴切线方程为y﹣y0=﹣
(x﹣x0),∴
,
当k不存在时,切点坐标为(±r,0),对应切线方程为x=±r,
符合 ,
综上知切线方程为 ,
设点M(xM , yM),MA,MB是圆x2+y2=1的切线,切点A(x1 , y1),B(x2 , y2),
过点A的圆的切线为x1x+y1y=1,
过点B的圆的切线为x2x+y2y=1,
∵两切线都过M点,∴x1xM+y1yM=1,x2xM+y2yM=1,
∴切点弦AB的方程为xMx+yMy=1,
由题意知xMyM≠0,
∴P( ,0),Q(0,
),
∴|PQ|2= =(
)(
+
)
=
≥ =
,
当且仅当 时,取等号,
∴|PQ|≥ ,∴|PQ|的最小值为
【解析】(Ⅰ)由椭圆上顶点为(0,2),且离心率为 ,列出方程组,求出a=6,b=3,由此能求出椭圆C的方程.(Ⅱ)设切点为(x0 , y0),求出切线方程为
,设点M(xM , yM),MA,MB是圆x2+y2=1的切线,求出切点弦AB的方程为xMx+yMy=1,由此能求出|PQ|的最小值.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
才能正确解答此题.
