题目内容

【题目】已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A(2,2)的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切,其半径小于5.
(1)若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称,求圆C2的方程;
(2)过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC,PD,切点为C,D,当四边形PCC2D面积最小时,求直线CD的方程.

【答案】
(1)解:由题意,设C1(a,1﹣a),则

∵过点A(2,2)的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切,

=

∴(a﹣2)(a﹣62)=0

∵半径小于5,

∴a=2,此时圆C1的方程为(x﹣2)2+(y+1)2=9,

∵C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称,

∴圆C2的方程为(x+1)2+(y﹣2)2=9;


(2)解:设P(a,2a﹣6),圆C2的半径r=2,

∴四边形PCC2D面积S=2 = =3|PD|,

|PD|= =

∴a=3时,|PD|min= ,此时面积最小为3 ,P(3,0).

∵C,D在以PC2为直径的圆上,

∴方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=5,

∵圆C2的方程为(x+1)2+(y﹣2)2=9,

∴两个方程相减,可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0.


【解析】(1)利用过点A(2,2)的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切, = ,求出圆心与半径,可得圆C1的方程,利用C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称,即可求圆C2的方程;(2)求出四边形PCC2D面积最小值,可得以PC2为直径的圆的方程,即可求直线CD的方程.
【考点精析】掌握直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本,需要知道直线与圆有三种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.

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