题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的极值;
(2)若不等式对
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)对函数求导得到
,讨论
和0和1 的大小关系,在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性,根据极值的概念得到结果;(2)设
,构造以上函数,研究函数的单调性,求得函数的最值,使得最小值大于等于0即可.
解析:
(Ⅰ),
,
∵的定义域为
.
①即
时,
在
上递减,
在
上递增,
,
无极大值.
②即
时,
在
和
上递增,在
上递减,
,
.
③即
时,
在
上递增,
没有极值.
④即
时,
在
和
上递增,
在
上递减,
∴,
.
综上可知: 时,
,
无极大值;
时,
,
;
时,
没有极值;
时,
,
.
(Ⅱ)设
,
,
设,则
,
,
,
∴在
上递增,∴
的值域为
,
①当时,
,
为
上的增函数,
∴,适合条件.
②当时,∵
,∴不适合条件.
③当时,对于
,
,
令,
,
存在,使得
时,
,
∴在
上单调递减,
∴,
即在时,
,∴不适合条件.
综上, 的取值范围为
.
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