题目内容
【题目】某家具厂生产一种办公桌，每张办公桌的成本为100元，出厂单价为160元，该厂为鼓励销售商多订购，决定一次订购量超过100张时，每超过一张，这批订购的全部办公桌出厂单价降低1元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过160张．
（1）设一次订购量为
张，办公桌的实际出厂单价为
元，求关于的函数关系式
；
（2）当一次性订购量为多少时，该家具厂这次销售办公桌所获得的利润
最大？其最大利润是多少元？（该家具厂出售一张办公桌的利润＝实际出厂单价－成本）
【答案】（1）
（2）当第一次订购量为100张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是6000元．
【解析】
（1）将订购量
分为
两种情况，求得办公桌的实际出厂单价的分段函数解析式.
（2）利用单价减去成本，再乘以订购量，求得利润
的解析式.根据分段函数的解析式，结合函数的单调性，求得的最大值.
（1）依题意得
即
．
（2）由（1）得
即
（i）当
，则
时，
．
（ii）当
，则在
单调递减．
∴
∴
． 
综上所述，的最大值为6000．
答：当第一次订购量为100张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利润是6000元．
【题目】为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量
（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
t | 0 | 10 | 20 | 30 |
| 0 | 2700 | 5200 | 7500 |
阅读“古诗词”的阅读量
（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.
（1）请分别写出函数
和
的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
【题目】如图，曲边三角形中，线段
是直线
的一部分，曲线段
是抛物线
的一部分.矩形
的顶点分别在线段，曲线段和
轴上.设点
，记矩形的面积为
.
（Ⅰ）求函数的解析式并指明定义域；
（Ⅱ）求函数的最大值.
【答案】(Ⅰ) 定义域为
;(Ⅱ) 在
时，取得最大值
.
【解析】试题分析：( I )根据点在直线上，
在抛物线上，结合图形，可得点
，从而可得函数的解析式，联立直线与抛物线的方程，即可求得定义域；（II）对函数求导，利用导数研究函数的单调性，从而可求得函数的最大值.
试题解析：( I )令
，
解得
（舍）
因为点
所以
，
其定义域为
（II）因为
令
，得
，
（舍）
所以
的变化情况如下表
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
| 极大 |
|
因为是函数在
上的唯一的一个极大值，
所以在时，函数取得最大值.
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用
或
求单调区间；第二步：解
得两个根
；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在各项均为正数的数列
中，
且
.
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）求证：当
时，
.
