Question

【题目】给定椭圆C：(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．

（1）求实数a，b的值；

（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求椭圆方程中参数. 由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．（2）设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组有且只有一组解．从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．化简，得m2＝1＋4k2．①因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝．即．② 由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．

试题解析：解：（1）记椭圆C的半焦距为c．

由题意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，

解得a＝2，b＝1． 4分

（2）由（1）知，椭圆C的方程为＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．

显然直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． 6分

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

故方程组（*） 有且只有一组解．

由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．

从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．

化简，得m2＝1＋4k2．① 10分

因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2，

所以圆心到直线l的距离d＝．

即． ② 14分

由①②，解得k2＝2，m2＝9．

因为m＞0，所以m＝3． 16分