Question

【题目】已知函数f（x）=（x2+bx+b） （b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0， ）上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当b=4时，f（x）=（x2+4x+4） = （x ），

则 = ．

由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．

当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．

当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．

当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，f（x）在（0， ）上为减函数．

∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．

当x=0时，f（x）取极大值为4

（2）解：由f（x）=（x2+bx+b） ，得：

= ．

由f（x）在区间（0， ）上单调递增，

得f′（x）≥0对任意x∈（0， ）恒成立．

即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0， ）恒成立．

∴ 对任意x∈（0， ）恒成立．

∵ ．

∴ ．

∴b的取值范围是

【解析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0， ）上大于等于0恒成立，得到 对任意x∈（0， ）恒成立．由单调性求出 的范围得答案．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．