题目内容
（本小题满分14分）
设数列
的前
项和为
，已知
，
（
为常数，
，
），且
成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列
是首项为１，公比为的等比数列，记
，
，．证明：
．
设数列
的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．（1）求
的值；（2）求数列
的通项公式；（3）若数列
是首项为１，公比为的等比数列，记，，．证明：．
，
解：（新编题）
（1）∵，，∴
，-------------------------2分
∴
．
∵成等差数列，∴
，
即
，∴
．---------------------------------------------------5分
解得，或
（舍去）．-----------------------------------------------------------------6分
（2）∵，
，
∴
，-------------------8分
∴，------------------------------------------9分
又
，∴数列的通项公式是
．-----------------------------------10分
（3）证明：∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴
．---------11分
∵
，
，
∴
， ①
， ②
①式两边乘以得 
③
由②③得
将代入上式，得．-----------------------------------------14分
另证: 先用错位相减法求
,再验证.
∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴
． --------------11分
又，所以
①
②
将①乘以2得:
③
①－③得:
,
整理得:
-------------------------12分
将②乘以
得: 
④
②－④整理得:
-----------------------------------------13分
∴ -----------------------------------------14分
（1）∵
，，∴，-------------------------2分∴
．∵
成等差数列，∴，即
，∴．---------------------------------------------------5分解得
，或（舍去）．-----------------------------------------------------------------6分（2）∵
，，∴
，-------------------8分∴
，------------------------------------------9分又
，∴数列的通项公式是．-----------------------------------10分（3）证明：∵数列
是首项为１，公比为的等比数列，∴．---------11分∵
，，∴
， ①， ②①式两边乘以
得 ③由②③得
将
代入上式，得．-----------------------------------------14分另证: 先用错位相减法求
,再验证.∵数列
是首项为１，公比为的等比数列，∴． --------------11分又
，所以 ① ②将①乘以2得:
③①－③得:
,整理得:
-------------------------12分将②乘以
得: ④②－④整理得:
-----------------------------------------13分
∴
-----------------------------------------14分
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，其中
，
，并且线段
所在直线的斜率为
．
的通项公式
的前
项和为
，求
和
满足：
，数列
是等差数列，
为数列
项和，且
，
，使
？若存在，求出
，若不存在，说明理由。
成立的最小自然数n是（ ）
中，
，则它的前10项和为（ ）
.
满足
，且
，则该数列的前509项的和为 .
的各项均为正数，
，且前
项之和
满足
，求数列的通项公式.