题目内容
(本小题满分14分)
设数列
的前
项和为
,已知
,
(
为常数,
,
),且
成等差数列.
(1)求
的值;
(2)求数列
的通项公式;
(3)若数列
是首项为1,公比为
的等比数列,记
,
,
.证明:
.
设数列









(1)求

(2)求数列

(3)若数列








解:(新编题)
(1)∵
,
,∴
,-------------------------2分
∴
.
∵
成等差数列,∴
,
即
,∴
.---------------------------------------------------5分
解得
,或
(舍去).-----------------------------------------------------------------6分
(2)∵
,
,
∴
,-------------------8分
∴
,------------------------------------------9分
又
,∴数列
的通项公式是
.-----------------------------------10分
(3)证明:∵数列
是首项为1,公比为
的等比数列,∴
.---------11分
∵
,
,
∴
, ①
, ②
①式两边乘以
得
③
由②③得

将
代入上式,得
.-----------------------------------------14分
另证: 先用错位相减法求
,再验证
.
∵数列
是首项为1,公比为
的等比数列,∴
. --------------11分
又
,所以
①
②
将①乘以2得:
③
①-③得:
,
整理得:
-------------------------12分
将②乘以
得:
④
②-④整理得:

-----------------------------------------13分
∴
-----------------------------------------14分
(1)∵



∴

∵


即


解得


(2)∵


∴

∴

又



(3)证明:∵数列



∵


∴


①式两边乘以


由②③得

将


另证: 先用错位相减法求


∵数列



又



将①乘以2得:

①-③得:

整理得:

将②乘以


②-④整理得:

-----------------------------------------13分
∴


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