Question

【题目】点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）
A.
B.4π
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上， 且|AB|=|AC|=1，∠BAC=120°，
∴BC= ，
∴△ABC外接圆半径2r=2，即r=1，
∴S△ABC= ×1×1×sin120°= ，
小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为 S△ABC×DQ= ，
∴DQ=3，
设球的半径为R，则
在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2 ， 即R2=12+（3﹣R）2 ， ∴R= ，
∴球的表面积为 = ，
故选D．