题目内容
【题目】已知函数f(x)的实义域为R,其图象关于点(﹣1,0)中心对称,其导函数为f′(x),当x<﹣1时,(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0.则不等式xf(x﹣1)>f(0)的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(﹣∞,﹣1)
C.(﹣1,1)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】解:由题意设g(x)=(x+1)f(x),
则g′(x)=f(x)+(x+1)f′(x),
∵当x<﹣1时,(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0,
∴当x<﹣1时,f(x)+(x+1)f′(x)>0,
则g(x)在(﹣∞,﹣1)上递增,
∵函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(﹣1,0)中心对称,
∴函数f(x﹣1)的图象关于点(0,0)中心对称,
则函数f(x﹣1)是奇函数,
令h(x)=g(x﹣1)=xf(x﹣1),
∴h(x)是R上的偶函数,且在(﹣∞,0)递增,
由偶函数的性质得:函数h(x)在(0,+∞)上递减,
∵h(1)=f(0),∴不等式xf(x﹣1)>f(0)化为:h(x)>h(1),
即|x|<1,解得﹣1<x<1,
∴不等式的解集是(﹣1,1),
故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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