题目内容
【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,E是DD1上的一点.
(1)求异面直线AC与B1D所成的角;
(2)若B1D⊥平面ACE,求三棱锥A﹣CDE的体积.
【答案】
(1)解:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
依题意,D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,2),
∴ ,
∴ ,
∴异面直线AC与B1D所成的角为 .
(2)解:设E(0,0,a),则 ,
∵B1D⊥平面ACE,AE平面ACE,∴B1D⊥AE.
∴ ,∴﹣1+2a=0, .
∴VA﹣CDE=VE﹣ADC= = .
【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角;(2)利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标,利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到体积.
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本,需要知道异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
【题目】第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 | 第26届亚特兰大 | |
中国 | 38 | 51 | 32 | 28 | 16 |
俄罗斯 | 24 | 23 | 27 | 32 | 26 |
(Ⅰ)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(Ⅱ)甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多(假设两国代表团获得的金牌数不会相等),规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个,已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 ,丙猜中国代表团的概率为 ,三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次,设三人中猜中国代表团的人数为X,求X的分布列及数学期望EX.