题目内容

【题目】已知函数f(x)=x3﹣x+2
(Ⅰ)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)令g(x)= +lnx,若函数y=g(x)在(e,+∞)内有极值,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证:

【答案】解:(Ⅰ)∵f(1)=13﹣1+2×1=2.

∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:
y﹣2=3(x﹣1),即3x﹣y﹣1=0.
(Ⅱ)解:
定义域为(0,1)∪(1,+∞)

设h(x)=x2﹣(a+2)x+1,要使y=g(x)在(e,+∞)上有极值,
则 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1 , x2
∴△=(a+2)2﹣4>0∴a>0或a<﹣4①
而且一根在区间(e,+∞)上,不妨设x2>e,又因为x1x2=1,∴
又h(0)=1,

联立①②可得:
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当x∈(1,x2),g'(x)<0,∴g(x)单调递减,
x∈(x2+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增
∴g(x)在(1,+∞)上有最小值g(x2)即t∈(1,+∞),都有g(t)≥g(x2
又当x∈(0,x1),g'(x)>0∴g(x)单调递增,当x∈(x1 , 1),g'(x)<0,∴g(x)单调递减,
∴g(x)在(0,1)上有最大值g(x1)即对s∈(0,1),都有g(s)≤g(x1
又∵x1+x2=2+a,x1x2=1,x1∈(0, ),x2∈(e,+∞),
=
=


∴k(x)在(e,+∞)上单调递增,∴

【解析】(Ⅰ)求出切点坐标,求出导数,得到切线的斜率,然后求解函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(Ⅱ)化简g(x)的表达式,求出定义域,求出导函数,构造函数h(x)=x2﹣(a+2)x+1,要使y=g(x)在(e,+∞)上有极值,转化为 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1 , x2 , 利用判别式推出a的范围,判断两个根的范围,然后求解a 的范围.(Ⅲ)转化已知条件为t∈(1,+∞),都有g(t)≥g(x2),通过函数的单调性以及最值,推出 = ,构造函数 ,利用导数以及单调性求解即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数,需要了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.

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