Question

6．已知直线AB的倾斜角为45°，椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在关于直线AB对称的两点．则直线AB在y轴上的截距的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 通过设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），设直线MN的方程为y=-x+b并与椭圆方程联立，利用韦达定理及根的判别式大于零、MN的中点T（x₀，y₀）在直线y=x+m上计算即得结论．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在关于直线y=x+m对称的两点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
根据对称性可知线段MN被直线y=x+m垂直平分，且MN的中点T（x₀，y₀）在直线y=x+m上，且k_MN=-1，
故可设直线MN的方程为y=-x+b，
联立直线MN与椭圆方程，整理可得：3x²-4bx+2b²-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4b}{3}$，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=2b-$\frac{4b}{3}$=$\frac{2b}{3}$，
由△=16b²-24（b²-3）＞0，可得-3＜b＜3，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2b}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{b}{3}$，
∵MN的中点T（x₀，y₀）在直线y=x+m上，
∴$\frac{2b}{3}$+m=$\frac{b}{3}$，m=-$\frac{b}{3}$，
∴-1＜m＜1，
故答案为：（-1，1）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称性设出直线方程，且由中点在直线上建立m、b之间的关系，还要注意方程的根与系数的关系的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．