Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求证：AC⊥平面PBD；
（3）求PE与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用中点问题，得出直线的平行AF∥EM，利用直线平面的平行问题求解证明即可．
（2）根据几何图形得出AC⊥BD，直线平面的垂直得出PD⊥AC，再运用判定定理求解证明即可．
（3）运用直线平面所成角的定义得出夹角，转化为直角三角形中求解即可．

解答 解：（1）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，∴FM=$\frac{1}{2}CD$．
∵k=$\frac{1}{2}$，∴AE=$\frac{1}{2}AB$=FM，
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∵AF?平面PCE，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD；
（3）

连接PE，PG
∵点E，O分别为AB和AC中点．
∴AO∥EG，
∵AC⊥平面PBD，
∴EG⊥平面PBD，
根据直线与平面所成角的定义可得：∠EPG为PE与平面PDB所成角，
Rt△EGP中，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PE=$\sqrt{{1}^{2}+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴sin∠EPG=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，

∴PE与平面PDB所成角的正弦值=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了空间直线平面的平行，垂直，空间夹角问题，关键是熟练掌握定理，定义，把空间问题转化为平面问题求解，直线，直线，平面之间的转化问题．