Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，Q是椭圆外的动点，满足|$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$|=10．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足$\overrightarrow{PT}$•$\overrightarrow{T{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{T{F}_{2}}$|=0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|$\overrightarrow{{F}_{1}P}$|=5+$\frac{4}{5}$x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=9，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），利用椭圆定义计算即得结论；
（Ⅱ）设点T（x，y），分$|\overrightarrow{PT}|=0$、|$\overrightarrow{PT}|≠0且|\overrightarrow{T{F_2}}|≠0$两种情况，结合向量数量积计算即可；
（Ⅲ）设在C上存在点M（x₀，y₀），易知S=9?$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=25}\\{4|{y}_{0}|=9}\end{array}\right.$，显然存在点M，使S=9，利用|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|cos∠F₁MF₂=9=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|sin∠F₁MF₂，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：设点P的坐标为（x，y）．
记$|\overrightarrow{{F_1}P}|={r_1}，|\overrightarrow{{F_2}P}|={r_2}$，
则${r_1}=\sqrt{{{（x+4）}^2}+{y^2}}，{r_2}=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}$．
由${r_1}+{r_2}=10，r_1^2-r_2^2=16x，得|\overrightarrow{{F_1}P}|={r_1}=5+\frac{4}{5}x$；
（Ⅱ）解：设点T的坐标为（x，y）．
当$|\overrightarrow{PT}|=0$时，点（5，0）和点（-5，0）在轨迹上．
当|$\overrightarrow{PT}|≠0且|\overrightarrow{T{F_2}}|≠0$时，由$\overrightarrow{PT}•\overrightarrow{T{F_2}}=0$，得$\overrightarrow{PT}⊥\overrightarrow{T{F_2}}$．
又$|\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{P{F_2}}|$，所以T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，$|\overrightarrow{OT}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F_1}Q}|=5$，所以有x²+y²=25．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=25；
（Ⅲ）结论：在点T的轨迹C上，存在点M使△F₁MF₂的面积S=9，此时∠F₁MF₂的正切值为2．
理由如下：
C上存在点M（x₀，y₀）使S=9的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=25}\\{4|{y}_{0}|=9}\end{array}\right.$，
显然|y₀|=$\frac{9}{4}$＜5，∴存在点M，使S=9；
不妨取y₀=$\frac{9}{4}$，则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-4-x₀，-$\frac{9}{4}$），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（4-x₀，-$\frac{9}{4}$），
∵$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}=|\overrightarrow{M{F_1}}|•|\overrightarrow{M{F_2}}|cos∠{F_1}M{F_2}$
=（-4-x₀，-$\frac{9}{4}$）•（4-x₀，-$\frac{9}{4}$）
=x₀²-16+（$\frac{9}{4}$）²
=x₀²+（$\frac{9}{4}$）²-16
=25-16=9，
又∵S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|sin∠F₁MF₂=9，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|cos∠F₁MF₂=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|sin∠F₁MF₂，
∴tan∠F₁MF₂=2．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．