Question

18．三个实数a、b、c成等比数列，且a+b+c=6，则b的取值范围是（　　）

• A． [-6，2]
• B． [-6，0）∪（ 0，2]
• C． [-2，0）∪（ 0，6]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 设此等比数列的公比为q，由a+b+c=6，可得$\frac{b}{q}+b+bq$=6，变形为b=$\frac{6}{\frac{1}{q}+q+1}$．对q分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴$\frac{b}{q}+b+bq$=6，
∴b=$\frac{6}{\frac{1}{q}+q+1}$．
当q＞0时，$b≤\frac{6}{2\sqrt{q•\frac{1}{q}}+1}$=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b$≥\frac{6}{-2\sqrt{（-q）•\frac{1}{-q}}+1}$=-6，当且仅当q=-1时取等号，此时b∈[-6，0）．
∴b的取值范围是[-6，0）∪（ 0，2]．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．