Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则θ的取值范围是（　　）

• A． $\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}≤θ≤\frac{π}{2}$
• C． $0≤θ≤\frac{π}{3}$
• D． $0＜θ＜\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，两边平方可求，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，由夹角公式可得，cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{4}×\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，利用基本不等式可求cosθ，从而得到θ的取值范围．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，
解可得，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{4}×\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$≥\frac{1}{4}×\frac{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$
又∵0≤θ≤π
∴0$≤θ≤\frac{1}{3}π$
故选C

点评 本题综合考查了平面向量的基本运算，基本不等式及其运用等知识，属于中档题