题目内容

16.已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1,则θ的取值范围是(  )
A.$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$B.$\frac{π}{3}≤θ≤\frac{π}{2}$C.$0≤θ≤\frac{π}{3}$D.$0<θ<\frac{2π}{3}$

分析 根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1,两边平方可求,${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$,由夹角公式可得,cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{4}×\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$,利用基本不等式可求cosθ,从而得到θ的取值范围.

解答 解:∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1,
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3$,${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$,
解可得,${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=2,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$,
∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{4}×\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$≥\frac{1}{4}×\frac{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$
又∵0≤θ≤π
∴0$≤θ≤\frac{1}{3}π$
故选C

点评 本题综合考查了平面向量的基本运算,基本不等式及其运用等知识,属于中档题

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