题目内容

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），直线l：x=my-c与椭圆C交于点M，N两点，当m=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，M是椭圆C的顶点，且△MF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，F2，N在直线x=4上的射影分别为E，K，D，连接MD，当m变化时，证明直线MD与NE相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线x=4分别相交于点P，Q，试问：当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

分析 （1）当m=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，可得直线l的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，由题意列关于a，c的方程组，解得a、c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；
（2）由（1）求得c=1，设直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到M、N的纵坐标的和与积，
然后先求直线l与x轴垂直时，MD与NE的交点为G（$\frac{5}{2}，0$），再利用斜率相等证得MG过定点G（$\frac{5}{2}，0$），NE也过定点G（$\frac{5}{2}，0$），即可说明直线MD与NE相交于一定点，该定点的坐标为G（$\frac{5}{2}，0$）；
（3）求出直线AM的方程，得到P的坐标，同理可得Q坐标，设H（x，y）为以PQ为直径的圆上任意一点，可得$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$，得到以PQ为直径的圆的方程取y=0，求得x=1或x=7．说明以PQ为直径的圆恒过（1，0）与（7，0），即当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是定值6．

解答 （1）解：当m=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，直线l的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=6}\\{\frac{c}{a}=cos\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知，c=1，∴直线l的方程为x=my+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，可得（3m2+4）y2+6my-9=0．
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
当直线l与x轴垂直时，可得MD与NE的交点为F2K的中点G（$\frac{5}{2}，0$），
当直线l与x轴不垂直时，下面证明MD过定点G（$\frac{5}{2}，0$），
由题意可知D（4，y2），
${k}_{GD}=\frac{{y}_{2}}{4-\frac{5}{2}}=\frac{2{y}_{2}}{3}$，${k}_{AG}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{5}{2}}=\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-\frac{3}{2}}$，
∵${k}_{AG}-{k}_{GD}=\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-\frac{3}{2}}-\frac{2{y}_{2}}{3}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}•\frac{-9}{（3{m}^{2}+4）{y}_{1}}$
=$\frac{（3{m}^{2}+4）{{y}_{1}}^{2}+6（m{y}_{1}-\frac{3}{2}）}{（m{y}_{1}-\frac{3}{2}）（3{m}^{2}+4）{y}_{1}}$=$\frac{（3{m}^{2}+4）{{y}_{1}}^{2}+6m{y}_{1}-9}{（m{y}_{1}-\frac{3}{2}）（3{m}^{2}+4）{y}_{1}}=0$．
∴kAG=kGD，即MG过定点G（$\frac{5}{2}，0$），
同理可证NE也过定点G（$\frac{5}{2}，0$），
∴直线MD与NE相交于一定点，该定点的坐标为G（$\frac{5}{2}，0$）；
（3）由题意可得直线AM的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，
令x=4，得P点坐标为（$4，\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得Q（$4，\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
设H（x，y）为以PQ为直径的圆上任意一点，则$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}=0$，
∴以PQ为直径的圆的方程为$（x-4）^{2}+（y-\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）（y-\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}）=0$．
令y=0，则$（x-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+3）（m{y}_{2}+3）}=0$．
即$（x-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}=0$，
即$（x-4）^{2}+\frac{36×\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}{{m}^{2}×\frac{-9}{3{m}^{2}+4}+3m×\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}+9}=0$，
即$（x-4）^{2}+\frac{-9×36}{-9{m}^{2}-18{m}^{2}+27{m}^{2}+36}=0$．
即（x-4）2=9，解得x=1或x=7．
即以PQ为直径的圆恒过（1，0）与（7，0），
∴当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是定值6．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了利用斜率证明三点共线问题，考查了圆的方程的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．

练习册系列答案
相关题目
10．直线y=k（x-1）交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为$2\sqrt{15}$．
11．已知f（x）=lnx+（x-a）2
（1）若a＞0，且f（x）存在极值，求实数a的取值范围
（2）在（1）条件下，求证：f（x）的所有极值一和大于ln$\frac{e}{2}$．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，且角A为锐角，b+c=2a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．
15．已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•a3…an为正整数的k（k∈N+）叫做“幸运数”，则在[1，2015]内所有“幸运数”的和为（　　）
A．2035B．2036C．4084D．4085
9．已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}+1}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}+1}\end{array}\right.$（i=2，3，4…k）中有且只有一个成立．
（1）写出满足k=4的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$=2k；
（3）当k=2n-1且P2n-1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}×\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$ 的最大值．
16．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则θ的取值范围是（　　）
A．$\frac{π}{6}≤θ≤\frac{π}{2}$B．$\frac{π}{3}≤θ≤\frac{π}{2}$C．$0≤θ≤\frac{π}{3}$D．$0＜θ＜\frac{2π}{3}$
13．已知梯形ABCD，如图所示，其中AB∥CD，且DC=2AB，三个顶点的坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（4，2），求点D的坐标．
14．（1）若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b对x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，求a的最大值与b的最小值．
（2）证明：sin$\frac{π}{{2}^{2}}$+sin$\frac{π}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{π}{{n}^{2}}$＞$\frac{n-1}{n+1}$，n≥2，n∈N*．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网