Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁、F₂，上下顶点分别为M，N，若椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线MF₂与椭圆交于另一点E，求△MF₁E的面积；
（3）Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点，设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点且满足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，求证：直线OA与OB的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2，建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（2）求出直线MF₂与椭圆交于另一点E的坐标，即可求△MF₁E的面积；
（3）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把点A，B代入椭圆方程可，利用Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点可得m²+n²=1，由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，得到P的坐标，因P在椭圆上，代入整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$）m²+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$）n²+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$）mn=1，即可证明结论．

解答 （1）解：因为椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短轴长为2，
所以$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2b=2，
所以a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）解：直线ME的方程为y=-x+1，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可得3x²-4x=0，
所以x=0或$\frac{4}{3}$，
x=$\frac{4}{3}$时，y=-$\frac{1}{3}$，
所以△MF₁E的面积为$\frac{1}{2}×2×（1+\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{3}$；
（3）证明：设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$③，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$④，
又m²+n²=1⑤，
因$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，故x=mx₁+nx₂，y=my₁+ny₂，
因P在椭圆上，代入整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}$）m²+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}$）n²+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$）mn=1．
将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=0．
所以，k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$为定值．

点评 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识，需要较强运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．