题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,
为底边
的中点,
为侧棱
上的点,且满足
平面
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析: (1)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,
,∴
平面
,∵
平面
,∴
,可证
平面
,,再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明;
(2) 取中点
,连接
,
,易知侧面
底面
,
是
与平面
所成角.,然后构造直角三角形,在直角三角形中求其正弦值,从而求解.
试题解析:(1)设和
的交点为
,连接
,
,
∵为
的中点,
为
的中点,
∴又
,∴
即
,
∵平面
,又平面
平面
,
∴,∴
为
的中点,
∵三棱柱各侧面都是正方形,所以,
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
由已知得,∴
,
∴平面
,
∴平面
,
∴,
∵侧面是正方形,∴,
又,
平面
,
平面
,∴
平面
.
(2)取中点
,连接
,
,
在三棱柱中,∵
平面
,
∴侧面底面
,
∵底面是正三角形,且
是
中点,∴
,所以
侧面
,
∴是
在平面
上的射影.
∴是
与平面
所成角.
.
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