Question

【题目】函数在区间上的最小值记为．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）求的函数表达式；

（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，利用二次函数的性质求出函数在区间上的最大值和最小值，从而可得出此时函数在区间上的值域；

（2）对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最小值的表达式；

（3）求出分段函数在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值.

（1）当时，，

当时，函数取最小值，即；

当时，函数取最大值，即.

因此，函数在区间上的值域为；

（2）①当时，函数的对称轴，

此时，函数在区间上单调递增，则；

②当时，函数的对称轴，

此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则；

③当时，函数的对称轴，

此时，函数在区间上单调递减，则．

综上所述，；

（3）①当时，；

②当时，；

当时，．

由①②③可知．