题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 .
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点M的横坐标为 ,直线l:y=kx+
与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当
≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
【答案】
(1)解:由题意可知F(0, ),圆心Q在线段OF平分线y=
上,
因为抛物线C的标准方程为y=﹣ ,
所以 ,即p=1,
因此抛物线C的方程x2=2y.
(2)解:假设存在点M(x0, ),(x0>0)满足条件,
抛物线C在点M处的切线的斜率为
y′ =
=x0.
令y= 得,
,
所以Q( ),
又|QM|=|OQ|,
故 ,
因此 .又x0>0.
所以x0= ,此时M(
).
故存在点M( ),使得直线MQ与抛物线C相切与点M.
(3)解:当x0= 时,由(Ⅱ)的Q(
),⊙Q的半径为:r=
=
.
所以⊙Q的方程为 .
由 ,整理得2x2﹣4kx﹣1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由于△=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=﹣ ,
所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).
由 ,整理得(1+k2)x2﹣
,
设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),
由于△= >0,x3+x4=
,x3x4=
.
所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2﹣4x3x4]= ,
因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ ,
令1+k2=t,由于△=16k2+8>0 ,
≤k≤2,∴t≥
则 ,
所以|AB|2+|DE|2=t(4t﹣2)+ =4t2﹣2t+
,
设g(t)=4t2﹣2t+ ,t
,因为g′(t)=8t﹣2﹣
,
所以当t ,g′(t)≥g′(
)=6,
即函数g(t)在t 是增函数,所以当t=
时,g(t)取最小值
,
因此当k= 时,|AB|2+|DE|2的最小值为
.
【解析】(1)通过F(0, ),圆心Q在线段OF平分线y=
上,推出求出p=1,推出抛物线C的方程.(2)假设存在点M(x0 ,
),(x0/span>>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数,求出Q的坐标,利用|QM|=|OQ|,求出M(
).使得直线MQ与抛物线C相切与点M.(3)当x0=
时,求出⊙Q的方程为.利用直线与抛物线方程联立方程组.设A(x1 , y1),B(x2 , y2),利用韦达定理,求出|AB|2 . 同理求出|DE|2 , 通过|AB|2+|DE|2的表达式,通过换元,利用导数求出函数的最小值.
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【题目】在一次数学测验后,班级学委对选答题的选题情况进行统计,如下表:
几何证 明选讲 | 极坐标与 参数方程 | 不等式 选讲 | 合计 | |
男同学 | 12 | 4 | 6 | 22 |
女同学 | 0 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 12 | 12 | 18 | 42 |
(1)在统计结果中,如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”,把不等式选讲称为“代数类”,我们可以得到如下2×2列联表.
几何类 | 代数类 | 合计 | |
男同学 | 16 | 6 | 22 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 24 | 18 | 42 |
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关,若有关,你有多大的把握?
(2)在原始统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈.已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中.
①求在这名学委被选中的条件下,2名数学课代表也被选中的概率;
②记抽取到数学课代表的人数为,求
的分布列及数学期望
.
下面临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就诊人数 | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2月至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想.
附:(参考数据
)