Question

【题目】如图，已知四边形是直角梯形，，，且，是等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析: (1)先证明平面,再证明平面.(2)利用空间向量法求二面角的余弦值．

详解：（1）证明：取的中点为，连接，，

由题意知 ，可得四边形为平行四边形，所以．

由题可知，，，且，平面，面，

所以平面，

又∵平面，∴，

∵为正三角形，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

又，

∴平面．

（2）解：由（1）可知平面，又平面，则平面平面，

为正三角形，因此取的中点为坐标原点，以为轴，在底面内过作的垂线为轴，为轴，建立空间坐标系，

∵，

∴，，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则即可取，

，

设二面角的大小为，则．