题目内容
【题目】已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点
也在圆上，且弦
长为8，求直线的方程；
（3）直线
交圆于
，
两点，若直线
，
的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）
（2）
或
（3）证明见解析，定点
【解析】
（1）圆以
为圆心，
为半径，直接写出圆的标准方程；
（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；
（3）设直线
：
，
，
，利用
得到
的关系，从而证得结论.
（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为
.
（2）①
不存在时，直线
的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：
，
联立方程
，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程
，
所以
，
代入①
得
，
化简得
，所以直线的方程为：
，所以过定点
.
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