题目内容

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,长轴长为4
5
,直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不经过椭圆上的点M(4,1),求证:直线MA,MB的斜率互为相反数.
(Ⅰ)椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,长轴长为4
5

∴2a=4
5
,e=
c
a
=
3
2

解得a=2
5
,c=
15
,b=
5

∴椭圆方程为
x2
20
+
y2
15
=1.…(4分)
(Ⅱ)将y=x+m代入
x2
20
+
y2
5
=1
,并整理,得:
5x2+8mx+4m2-20=0,
∵直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B,
∴△=(8m)2-20(4m2-20)>0,
解得-5<m<5,
∴m的取值范围是(-5,5).
(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2
设A(x1y1),B(x2,y2),则由(Ⅱ)得x1+x2=-
8m
5
,x1x2=
4m2-20
5

k1+k2=
y1-1
x1-4
+
y2-1
x2-4
=
(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)
(x1-4)(x2-4)

∵分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
=
2(4m2-20)
5
-
8m(m-5)
5
-8(m-1)=0

∴k1+k2=0,
∴直线MA,MB的斜率互为相反数.
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