题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求
在
处的切线方程；
（2）令
，已知函数
有两个极值点
，且
，求实数
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在
，使不等式
对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）求出导数
，计算
，由点斜式写出切线方程并整理成一般式；
（2）求出
，由
，可得
有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得
的范围；
（3）由（2）求出两极值点，确定
的单调性，得在
单调递增，因此题设中
使不等式成立，取为最大值
，使之成立即可。化简为不等式
对任意的
恒成立，引入函数
，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件．
解：
当
时，
时，
在
处的切线方程为
化简得：
对函数求导可得，
令，可得
，解得的取值范围为
由，解得
而
在
上递增，在
上递减，在
上递增
在单调递增
在上，
，使不等式
对
恒成立
等价于不等式
恒成立
即不等式对任意的恒成立
令，则
①当
时，
在上递减
不合题意
②当
时，
若
，即
时，则
在上先递减
时，
不能恒成立
若
即
，则在上单调递增
恒成立
的取值范围为
【题目】某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用
表示活动推出的天数，
表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
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（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第
天使用扫码支付的人次；
（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式 | 现金 | 会员卡 | 扫码 |
比例 |
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商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受
折优惠的概率为
，享受折优惠的概率为
，享受
折优惠的概率为
．现有一名顾客购买了
元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？
参考数据：设
，
，
，
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
