题目内容
【题目】已知抛物线C: 的焦点为F,直线
与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线
与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求
的方程.
【答案】(1);(2)直线
的方程为
或
.
【解析】试题分析:(1)由已知条件,先求点的坐标,再由
及抛物线的焦半径公式列方程可求得
的值,从而可得抛物线C的方程;(2)由已知条件可知直线
与坐标轴不垂直,故可设直线
的点参式方程:
,代入
消元得
.设
由韦达定理及弦长公式表示
的中点
的坐标及
长,同理可得
的中点
的坐标及
的长.由于
垂直平分线
,故
四点在同一圆上等价于
,由此列方程可求得
的值,进而可得直线
的方程.
试题解析:(1)设,代入
,得
.由题设得
,解得
(舍去)或
,∴C的方程为
;(2)由题设知
与坐标轴不垂直,故可设
的方程为
,代入
得
.设
则
.故
的中点为
.又
的斜率为
的方程为
.将上式代入
,并整理得
.设
则
.故
的中点为
.
由于垂直平分线
,故
四点在同一圆上等价于
,从而
即
,化简得
,解得
或
.所求直线
的方程为
或
.
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