Question

14．如图所示，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$夹角为150°，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，$|{\overrightarrow{OC}}|=2\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），则λ+μ=（　　）

• A． 1
• B． $-\frac{9}{2}$
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、向量基本定理即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
A（1，0），B$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，C$（-3，-\sqrt{3}）$．
∵$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），
∴$（-3，-\sqrt{3}）$=λ（1，0）+μ$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=-3}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}μ=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得μ=-2，λ=-4．
∴λ+μ=-6．
故选：C．

点评 本题考查了向量的坐标运算、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．