题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)求证:当时,存在
,使得
.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的方程,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间,
从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)根据f(x)的最小值是f()=
,存在x0,使得f(x0)
<1f()<1,由f(
)﹣1=
,设g(x)=lnx﹣x,根据函数的单调性证明即可.
(Ⅰ)函数的定义域为
,且
。
因为
令,得到
,
当m>0时,x变化时,,
的变化情况如下表:
x | |||
- | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数在
处取得极小值
当m<0时,x变化时,,
的变化情况表如下:
x | |||
+ | 0 | - | |
↗ | 极大值 | ↘ |
所以函数在
处取得极大值
(Ⅱ)当m>0时,由(Ⅰ)可知,的最小值是
,所以“存在
,使得
等价于“”
所以.
设
则
当0<x<1时,,
单调递增
当1<x时,,
单调递减
所以的最大值为
,所以
,所以结论成立.
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