Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性.

（2）当时，证明：对任意的，有.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）求出原函数的导函数，对分类求解原函数的单调区间；

（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明成立，即证．令，，由导数求出的最大值和的最小值，由的最大值小于的最小值得答案．

（1）解：由定义域为，得

，

当时，，

当时，，为增函数，当时，，为减函数；

当时，，二次方程有两根，，，

当时，，为增函数，当时，，为减函数．

综上可得，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：要证，

即证，

即，

，，

也就是证，

即证．

令，则，

当时，，为增函数，当时，，为减函数，

；

令，，

当时，，为减函数，当时，，为增函数，

，

成立，

故对任意的，有．