题目内容
【题目】已知动点P到两定点M（﹣3，0），N（3，0）的距离满足|PM|＝2|PN|.
（1）求证：点P的轨迹为圆；
（2）记（1）中轨迹为⊙C，过定点（0，1）的直线l与⊙C交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】（1）证明见解析（2）S△ABC最大值为8，直线l的方程为
或
.
【解析】
（1）设
，由已知结合两点间的距离公式，即可证明结论；
（2）根据题意所求直线
的斜率存在且不为零，设直线l的方程为：y＝kx+1，求出圆心到直线的距离
，进而用弦长公式将弦长用表示，将S△ABC表示为关于的关系式，运用基本不等式，即可得到结论.
（1）设，则由|PM|＝2|PN|，
得
，
化简得
，
即
，所以点P的轨迹为圆；
（2）由（1）得
，
因为直线l与⊙C交于A，B两点，故直线斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
则圆心C到直线l的距离
，
，
当且仅当
时，等号成立，
所以当d＝2
时，S△ABC有最大值为8，
此时
，化简得
解得
或
则直线l的方程为或.
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