Question

10．已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），且f（$\frac{1}{2}$）=1，当sinα=$\frac{1}{4}$时，则f（4cos2α）=-1．

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x）得函数f（x）为奇函数，由f（1+x）=f（1-x）得函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化即可．

解答 解：∵f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
∵f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=f（x），函数的周期为4，
∵sinα=$\frac{1}{4}$，
∴4cos2α=4（1-2sin²α）=4×（1-2×$\frac{1}{16}$）=$\frac{7}{2}$，
则f（4cos2α）=f（$\frac{7}{2}$）=f（$\frac{7}{2}$-4）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性以及周期性，结合三角函数的倍角公式进行求值是解决本题的关键．综合考查函数的性质．