题目内容

2.设m,n为正实数,且m+n=1,则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是4.

分析 由题意可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$)(m+n)=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$,由基本不等式可得.

解答 解:∵m,n为正实数,且m+n=1,
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=($\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$)(m+n)
=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$=4
当且仅当$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$即m=n=$\frac{1}{2}$时取等号,
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为:4
故答案为:4

点评 本题考查基本不等式求最值,属基础题.

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