题目内容
【题目】如图所示,椭圆的左、右顶点分别为
,离心率
,长轴与短轴的长度之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取点
(与
两点不重合),直线
交
轴于点
,直线
交
轴于点
,证明:
为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4
【解析】
(Ⅰ)由题意,2a+2b=10,结合
解得a=3,b=2,即得到椭圆方程;(Ⅱ)设P(x0,y0),直线PA交y轴于点C(0,y1),直线PB交y轴于点D(0,y2),求得直线PA,PB的方程,分别求出y1,y2,再根据向量的数量积即可证明.
(Ⅰ)由题可知,
,又
解得
.故椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)解法1:设,直线
交
轴于点
,直线
交
轴于点
.则
,即
.易知
同向,故
.
因为,
,所以得直线
的方程为
,令
,则
;直线
的方程为
,令
,则
,
所以
,为定值.
解法2:的左、右顶点分别为
、
,则有
由(Ⅰ)知,设直线、
的斜率分别为
,则
.
直线的方程为
,令
得
;直线
的方程为
令得
.所以
.
解法3:的左、右顶点分别为
、
,则
如题图所示,
.
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