Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意一点，关于原点的对称点为，有，且的最大值.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是关于轴的对称点，设点，连接与椭圆相交于点，问直线与轴是否交于一定点.如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点.

【解析】

（1）由对称可得，故．又根据的最大值得到，进而得到，，所以可得到椭圆的方程．

（2）由题意可设直线的方程为，结合由直线方程与椭圆方程组成的方程组可得直线的方程为，令得，将，代入上式整理得，然后代入两根和与两根积可得，从而得直线与轴交于定点．

（1）因为点为椭圆上任意一点，关于原点的对称点为，

所以，

又，

所以，

．

又的最大值为，知当为上顶点时，最大，

所以，

所以，

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由消去并整理得．

因为直线与椭圆交于两点，

所以，

解得．

设，，则，

且，，①

由题意得，直线的方程为，

令得，

将，代入上式整理得．

将①代入上式，得，

所以直线与轴交于定点．