Question

【题目】如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线与相交于点，点在线段上，且，与底面所成角为.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）推导出平面，进而可得出；

（2）根据直线与底面所成的角为可计算出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出二面角的余弦值.

（1）因为在长方体中，有平面，平面，，

因为四边形是正方形，所以，

又，从而平面.

而平面，所以；

（2）因为在长方体中，有、、两两垂直，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

由（1）知为直线与平面所成的角，

又因为与平面所成角为，所以，所以.

由，得，可知，所以，

又，即，故，

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

即，令，可得，

因为平面，所以为平面的法向量，即，

所以.

由图形可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.