题目内容
【题目】椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆上一点
与，的距离之和为
，且焦距是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）过线段
上一点的直线
（斜率不为0）与椭圆相交于
，
两点，当
的面积与
的面积之比为
时，求面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）由题意结合椭圆的定义可得
，再由
、
求得
后，即可得解；
（2）转化条件得直线
过定点
，设直线的方程为
，
，
，联立方程组利用韦达定理可得
的面积
，换元后利用二次函数的性质即可得解.
（1）由题可知
，.
又
，所以，
所以
，所以
，解得
或
（舍去），
从而椭圆的方程为；
（2）由题意可得
，
，
因为的面积与
的面积之比为1：3，所以直线过定点，
设直线的方程为，，，
联立
得
，
，
所以
，
，
所以的面积
.
设
，则
，
所以
，
所以当
时，
最大，最大值为
，
所以面积的最大值为.
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