Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；
（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（0）=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a，因为f（0）≤1，所以|a|+a≤1，

当a≤0时，0≤1，显然成立；当a＞0，则有2a≤1，所以 ．所以 ．

综上所述，a的取值范围是

（2）解： ，

对于y=x2﹣（2a﹣1）x，其对称轴为 ，开口向上，

所以f（x）在（a，+∞）上单调递增；

对于y=x2﹣（2a+1）x，其对称轴为 ，开口向上，

所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递减．

综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减

（3）解：g（x）= ．

∵y1=x2+（2﹣2a）x的对称轴为x=a﹣1，y2=x2﹣2ax+2a的对称轴为x=a，y3=x2﹣（2a+2）x+2a的对称轴为x=a+1，

∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．

∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，

∵a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，

∴g（a）＜g（2）=0．

∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点．

综上所述，当a＞2时，g（x）=f（x）+|x|有两个零点

【解析】（1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围；（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间；（3）写出g（x）的函数解析式，利用二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据零点的存在性定理判断．