题目内容

【题目】函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x<0时,xf′(x)+f(x)>0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是(
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
D.(﹣1,0)∪(0,1)

【答案】B
【解析】解:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x),
∵当x<0时,xf′(x)+f(x)>0,
∴则当x<0时,g′(x)>0,
∴函数g(x)=xf(x)在(﹣∞,0)上为增函数,
∵函数f(x)是奇函数,∴g(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)=(﹣x)[﹣f(x)]=xf(x)=g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数,
由f(1)=0得,g(1)=0,函数g(x)的图象大致如右图:
∵不等式f(x)<0 <0,

由函数的图象得,﹣1<x<0或x>1,
∴使得f(x)<0成立的x的取值范围是:(﹣1,0)∪(1,+∞),
故选:B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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