题目内容
对于定义域为
的函数
,若有常数M,使得对任意的
,存在唯一的
满足等式
,则称M为函数
f (x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数
≤
≤
的“均值”,请说明理由;
(2)若函数
为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数
是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数
的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
说明:对于(3),将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分






(1)判断1是否为函数



(2)若函数


(3)若函数


说明:对于(3),将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分
解:(1)对任意的
,有
,
当且仅当
时,有
,
故存在唯一
,满足
, ……………………2分
所以1是函数
的“均值”. ……………………4分
(另法:对任意的
,有
,令
,
则
,且
,
若
,且
,则有
,可得
,
故存在唯一
,满足
, ……………………2分
所以1是函数
的“
均值”. ……………………4分)
(2)当
时,
存在“均值”,且“均值”为
;…………5分
当
时,由
存在均值,可知对任意的
,
都有唯一的
与之对应,从而有
单调,
故有
或
,解得
或
或
, ……………………9分
综上,a的取值范围是
或
. ……………………10分
(另法:分
四种情形
进行讨论)
(3)①当I
或
时,函数
存在唯一的“均值”.
这时函数
的“均值”为
; …………………12分
②当I为
时,函数
存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数
的“均值”; ……………………14分
③当I
或
或
或
或
或
时,
函数
不存在“均值”. ……………………16分
[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得6分;若三种情况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得5分]
①当且仅当I形如
、
其中之一时,函数
存在唯一的“均值”.
这时函数
的“均值”为
; ……………………13分
②当且仅当I为
时,函数
存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数
的“均值”; ……………………16分
③当且仅当I形如
、
、
、
、
、
其中之一时,函数
不存在“均值”. ……………………18分
(另法:①当且仅当I为开区间或闭区间时,函数
存在唯一的“均值”.这时函数
的均值为区间I两端点的算术平均数; ……………………13分
②当且仅当I为
时,函数
存在无数多个“均值”.这时任意实数均为函数
的“均值”; ……………………16分
③当且仅当I为除去开区间、闭区间与
之外的其它区间时,函数
不存在“均值”. ……………………18分)
[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”,各扣1分]


当且仅当


故存在唯一



所以1是函数

(另法:对任意的



则


若




故存在唯一


所以1是函数


(2)当



当



都有唯一的


故有





综上,a的取值范围是


(另法:分



(3)①当I



这时函数


②当I为


这时任意实数均为函数

③当I






函数

[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得6分;若三种情况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得5分]
①当且仅当I形如



这时函数


②当且仅当I为


这时任意实数均为函数

③当且仅当I形如







(另法:①当且仅当I为开区间或闭区间时,函数


②当且仅当I为



③当且仅当I为除去开区间、闭区间与



[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”,各扣1分]
略

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