题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,平面平面
,四边形
为等腰梯形,四边形
为菱形.已知
,
,
.
(1)线段上是否存在一点
,使得
平面
?证明你的结论.
(2)若线段在平面
上的投影长度为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)且是
的中点,证明见解析;(2)
.
【解析】
(1)首先利用三角形的中位线推出,然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可;(2)建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量、平面的法向量,利用向量即可求解.
解:(1)在线段上存在一点
,使得
平面
,且
是
的中点.
证明如下:
如图,连接交
于点
,连接
.
四边形
为菱形,
为
的中点.
在中,由中位线定理可得
.
平面
,
平面
,
平面
.
在线段
上存在一点
,使得
平面
,且
是
的中点.
(2)解:,
,线段
在平面
上的投影长度为
,
线段
在平面
上的投影长度为
.因为平面
平面
,交线为
,
如图,过作
于点
,则
平面
,
则,
为线段
的中点.以
为坐标原点,
所在的直线为
轴,
过平行于
的直线为
轴,过
垂直于平面
的直线为
轴建立空间直角坐标系,
可得,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
,得
,
取,则
.设直线
与平面
所成的角为
,
则,
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验,得到统计数据如表:
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射 | 10 | x | A |
注射 | 40 | y | B |
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验的小白鼠中任取一只,取得注射疫苗小白鼠的概率为.
(1)能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效?
(2)现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析,记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |