Question

5．已知f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，f′（x）=$\frac{（1-a）[x-\frac{a}{1-a}][x-1]}{x}$，若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜$\frac{a}{a-1}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出导数，对a分类讨论：①当a≤$\frac{1}{2}$时，②当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，③若a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-x，f′（x）=$\frac{（1-a）[x-\frac{a}{1-a}][x-1]}{x}$=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$）．
①当a≤$\frac{1}{2}$时，则$\frac{a}{1-a}$≤1，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要条件是f（1）＜$\frac{a}{a-1}$，即$\frac{1-a}{2}$-1＜$\frac{a}{a-1}$，
解得-$\sqrt{2}$-1＜a＜$\sqrt{2}$-1；
②当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，则$\frac{a}{1-a}$＞1，
则当x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上单调递减；
当x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）上单调递增．
∴存在x≥1，使得f（x）＜$\frac{a}{a-1}$的充要条件是f（$\frac{a}{1-a}$）＜$\frac{a}{a-1}$，
而f（$\frac{a}{1-a}$）=aln$\frac{a}{1-a}$+$\frac{{a}^{2}}{2（1-a）}$+$\frac{a}{1-a}$＞$\frac{a}{a-1}$，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=$\frac{1-a}{2}$-1=$\frac{-a-1}{2}$＜$\frac{a}{a-1}$，成立．
综上可得：a的取值范围是（-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，难度较大．