Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x．

Answer 1

分析 通过双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，可得2b=a+c，再由a，b，c的关系，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长2a、虚轴长2b、焦距长2c成等差数列，
所以4b=2a+2c，及a+c=2b，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即有a²+b²=（2b-a）²，
化简可得4a=3b，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x．
即为y=±$\frac{4}{3}$x．
故答案为：y=±$\frac{4}{3}$x．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，同时考查等差数列的性质，属于中档题．