Question

15．设点P（x，y）满足：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥1}\\{y≥1}\end{array}\right.$，则$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范围是（　　）

• A． （2，$\frac{5}{2}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，数形结合求出$\frac{y}{x}$的取值范围，再由函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x≥1}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：C（1，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：B（2，1），
∵${k}_{OB}=\frac{1}{2}，{k}_{OC}=2$，
∴$\frac{y}{x}$的范围为[$\frac{1}{2}，2$]，
令t=$\frac{y}{x}$∈[$\frac{1}{2}，2$]，
∴$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=t+$\frac{1}{t}$的最小值为2，当t=2或t=$\frac{1}{2}$时有最大值为$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．