题目内容

16.设函数f(x)=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$.
(1)计算f(2)+f($\frac{1}{2}$)、f(-5)+f(-$\frac{1}{5}$)、f($\sqrt{2}$)+f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)的值;
(2)根据(1)中的计算结果,归纳猜想关于函数y=f(x)的一般性结论,并给予证明.

分析 (1)分别将对应的x的值代入函数解析式求出即可;(2)根据(1)的结果猜想,通过f(x)的表达式证明即可.

解答 解:(1)f(2)+f($\frac{1}{2}$)=$\frac{{2}^{2}}{1{+2}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=1,
f(-5)+f(-$\frac{1}{5}$)=$\frac{{(-5)}^{2}}{1{+(-5)}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{25}}{1+\frac{1}{25}}$=1,
f($\sqrt{2}$)+f($\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{2}{1+2}$+$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=1,
(2)猜想,若x∈R,且x≠0,则f(x)+f($\frac{1}{x}$)=1,
证明:f(x)+f($\frac{1}{x}$)=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{2}}$+$\frac{{(\frac{1}{x})}^{2}}{1{+(\frac{1}{x})}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1,
∴f(x)+f($\frac{1}{x}$)=1.

点评 本题考查了函数的取值问题,考查归纳与猜想,是一道基础题.

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