题目内容
13．在四面体ABCD中，点G1，G2，G3，G4分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，点M在线段AG4上，且AM：MG4=2：1，求证：向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．分析 画出图形，结合图形，证明G1M∥平面BCD，G1G2∥平面BCD，G1G3∥平面BCD即可得出G1M、G1G2、G1G3三线共面，
从而得出向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．
解答 证明：如图所示，
四面体ABCD中，点G1，G2，G3，G4分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，
延长AG1交BC于点E，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{2}{1}$；
又AM：MG4=2：1，
∴$\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$=$\frac{AM}{{MG}_{4}}$，
∴G1M∥EG4；
又G1M?平面BCD，EG4?平面BCD，
∴G1M∥平面BCD；
同理G1G2∥平面BCD，G1G3∥平面BCD，
且G1M∩G1G2=G1，G1M∩G1G3=G1，
∴G1M、G1G2、G1G3三线共面，
即向量$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$，$\overrightarrow{{G}_{1}M}$共面．
点评 本题考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了证明空间向量的共面问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题目．
练习册系列答案
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3．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（ ）
| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$ |
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=$\frac{π}{4}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a的值是（ ）
| A． | $\sqrt{6}$ | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 2$\sqrt{6}$ |
8．不等式|$\frac{2}{3}$x-3|+3＜0的解集为（ ）
| A． | R | B． | （0，+∞） | C． | （-∞，0）∪（0，+∞） | D． | ∅ |