在四面体ABCD中.点G1.G2.G3.G4分别为△ABC.△ACD.△ADB.△BCD的重心.点M在线段AG4上.且AM:MG4=2:1.求证:向量$\overrightarrow{{G} {1}{G} {2}}$.$\overrightarrow{{G} {1}{G} {3}}$.$\overrightarrow{{G} {1}M}$共面．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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题目内容

13．在四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，点M在线段AG₄上，且AM：MG₄=2：1，求证：向量

$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$ ，

$\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$ ，

$\overrightarrow{{G}_{1}M}$ 共面．

分析画出图形，结合图形，证明G₁M∥平面BCD，G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD即可得出G₁M、G₁G₂、G₁G₃三线共面，
从而得出向量 $\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$ ， $\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$ ， $\overrightarrow{{G}_{1}M}$ 共面．

解答证明：如图所示，
四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，
延长AG₁交BC于点E，
∴ $\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$ = $\frac{2}{1}$ ；
又AM：MG₄=2：1，
∴ $\frac{{AG}_{1}}{{G}_{1}E}$ = $\frac{AM}{{MG}_{4}}$ ，
∴G₁M∥EG₄；
又G₁M?平面BCD，EG₄?平面BCD，
∴G₁M∥平面BCD；
同理G₁G₂∥平面BCD，G₁G₃∥平面BCD，
且G₁M∩G₁G₂=G₁，G₁M∩G₁G₃=G₁，
∴G₁M、G₁G₂、G₁G₃三线共面，
即向量 $\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{2}}$ ， $\overrightarrow{{G}_{1}{G}_{3}}$ ， $\overrightarrow{{G}_{1}M}$ 共面．

点评本题考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了证明空间向量的共面问题，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题目．

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